rumus trigonometri segitiga siku siku

Rumus trigonometri segitiga siku siku - Jika berbicara tentang dasar trigonometri, mutlak kita akan berhadapan dengan segitiga siku-siku, karena trigonometri itu sendiri didefinisikan berdasarkan konsep kesebangunan pada segitiga siku-siku. Diberikan segitiga ABC siku-siku di B dengan ∠ A = θ.

Jika sisi di depan sudut (opposite) dinamakan "depan", sisi di samping sudut (adjacent) dinamakan "samping" dan sisi miring (hypotenuse) dinamakan "miring", maka perbandingan sisi-sisi tersebut didefinisikan sebagai berikut :

sin(θ)=depanmiringcsc(θ)=miringdepan$$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta )=\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}(\theta )=\frac{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}$$ cos(θ)=sampingmiringsec(θ)=miringsamping$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta )=\frac{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}(\theta )=\frac{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}$$ tan(θ)=depansampingcot(θ)=sampingdepan$$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\theta )=\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}(\theta )=\frac{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}$$

Keterangan :

sin untuk sinus

cos untuk cosinus

tan untuk tangen

csc untuk cosecan

sec untuk secan

cot untuk cotangen

Catatan :

Sisi depan dan sisi samping dapat berubah tergantung sudut yang digunakan, sedangkan sisi miring selalu sama, yaitu sisi terpanjang dan letaknya selalu di depan sudut siku-siku.

Dari definisi diatas dapat kita amati dan simpulkan sebagai berikut :

Cosecan adalah kebalikan dari sinus, ditulis csc(θ)=1sin(θ)$$\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}(\theta )=\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta )}$$ Secan adalah kebalikan dari cosinus, ditulis sec(θ)=1cos(θ)$$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}(\theta )=\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta )}$$ Cotangen adalah kebalikan dari tangen, ditulis cot(θ)=1tan(θ)$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}(\theta )=\frac{1}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\theta )}$$

Tangen adalah perbandingan sinus terhadap cosinus, ditulis tan(θ)=sin(θ)cos(θ))$$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\theta )=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta )}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta )})$$ sehingga cot(θ)=cos(θ)sin(θ)$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}(\theta )=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta )}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta )}$$

Contoh 1

Tentukan semua perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga ABC dan sudut β untuk segitiga PQR !

Penyelesaian :

Perhatikan segitiga ABC

AC = √(√3)2+12$\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}$ = 2

Sesuai dengan definisi, maka

sin(α) = depanmiring$\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}$ = ABAC$\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ = √32$\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos(α) = sampingmiring$\frac{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}$ = BCAC$\frac{\mathrm{B}\mathrm{C}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ = 12$\frac{1}{2}$

tan(α) = depansamping$\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}$ = ABBC$\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{C}}$ = √31$\frac{\sqrt{3}}{1}$ = √3$\sqrt{3}$

csc(α) = miringdepan$\frac{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}$ = ACAB$\frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = 2√3$\frac{2}{\sqrt{3}}$ = 2√33$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

sec(α) = miringsmping$\frac{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}{\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}$ = ACBC$\frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\mathrm{B}\mathrm{C}}$ = 21$\frac{2}{1}$ = 2

cot(α) = sampingdepan$\frac{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}$ = BCAB$\frac{\mathrm{B}\mathrm{C}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ = 1√3$\frac{1}{\sqrt{3}}$ = √33$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Perhatikan segitiga PQR

QR = √(√2)2−12$\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-1^2}$ = 1

Sesuai dengan definisi, maka

sin(β) = depanmiring$\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}$ = QRPR$\frac{\mathrm{Q}\mathrm{R}}{\mathrm{P}\mathrm{R}}$ = 1√2$\frac{1}{\sqrt{2}}$ = √22$\frac{\sqrt{2}}{2}$

cos(β) = sampingmiring$\frac{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}$ = PQPR$\frac{\mathrm{P}\mathrm{Q}}{\mathrm{P}\mathrm{R}}$ = 1√2$\frac{1}{\sqrt{2}}$ = √22$\frac{\sqrt{2}}{2}$

tan(β) = depansamping$\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}$ = QRPQ$\frac{\mathrm{Q}\mathrm{R}}{\mathrm{P}\mathrm{Q}}$ = 11$\frac{1}{1}$ = 1

csc(β) = miringdepan$\frac{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}$ = PRQR$\frac{\mathrm{P}\mathrm{R}}{\mathrm{Q}\mathrm{R}}$ = √21$\frac{\sqrt{2}}{1}$ = √2$\sqrt{2}$

sec(β) = miringsamping$\frac{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}$ = PRPQ$\frac{\mathrm{P}\mathrm{R}}{\mathrm{P}\mathrm{Q}}$ = √21$\frac{\sqrt{2}}{1}$ = √2$\sqrt{2}$

cot(β) = sampingdepan$\frac{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}$ = PQQR$\frac{\mathrm{P}\mathrm{Q}}{\mathrm{Q}\mathrm{R}}$ = 11$\frac{1}{1}$ = 1

Contoh 2

Jika tan(α) = √3$\sqrt{3}$ dan α sudut lancip, tentukan nilai dari sin2(α)+cos2(α)$\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2(\alpha )+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2(\alpha )$

Penyelesaian :

tan(α) = depansamping$\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}$ = √31$\frac{\sqrt{3}}{1}$

Karena perbandingan trigonometri memenuhi konsep kesebangunan, dapat ditulis :

depan = √3$\sqrt{3}$

samping = 1

Dengan teorema phytagoras

miring = √(√3)2+12$\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}$ = 2

Berdasarkan definisi, kita peroleh

sin(α) =  √32$\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos(α) = 12$\frac{1}{2}$

sin²(α) + cos²(α) = (√32$\frac{\sqrt{3}}{2}$)² + (12$\frac{1}{2}$)²

sin²(α) + cos²(α) = 34$\frac{3}{4}$ + 14$\frac{1}{4}$

sin²(α) + cos²(α) = 1

Jadi, sin²(α) + cos²(α) = 1

Contoh 3

Jika sin(β) = 12$\frac{1}{2}$ dan sudut β lancip, tentukan nilai dari sec2(β)−tan2(β)$\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2(\beta )-\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^2(\beta )$

Penyelesaian :

sin(β) = depanmiring$\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}$ = 12$\frac{1}{2}$

depan = 1

miring = 2

samping = √22−12$\sqrt{2^2-1^2}$ = √3$\sqrt{3}$

Sesuai definisi

sec(β) = 2√3$\frac{2}{\sqrt{3}}$

tan(β) = 1√3$\frac{1}{\sqrt{3}}$

sec²(β) − tan²(β) = (2√3$\frac{2}{\sqrt{3}}$)² − (1√3$\frac{1}{\sqrt{3}}$)²

sec²(α) − tan²(α) = 43$\frac{4}{3}$ − 13$\frac{1}{3}$

sec²(α) − tan²(α) = 1

Jadi, sec²(β) − tan²(β) = 1

Contoh 4

Jika cos(γ) = √22$\frac{\sqrt{2}}{2}$ dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari csc2(γ)−cot2(γ)$\mathrm{c}\mathrm{s}{\mathrm{c}}^2(\gamma )-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^2(\gamma )$

Penyelesaian :

cos(γ) = sampingmiring$\frac{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}$ = √22$\frac{\sqrt{2}}{2}$

samping = √2$\sqrt{2}$

miring = 2

depan = √22−(√2)2$\sqrt{2^2-(\sqrt{2}{)}^2}$ = √2$\sqrt{2}$

Sesuai definisi

csc(γ) = 2√2$\frac{2}{\sqrt{2}}$

cot(γ) = √2√2$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = 1

csc²(γ) − cot²(γ) = (2√2$\frac{2}{\sqrt{2}}$)²  − (1)²

csc²(γ) − cot²(α) = 2 − 1

csc²(γ) − cot²(α) = 1

Jadi, csc²(γ) − cot²(γ) = 1

Contoh 5

Diberikan segitiga ABC ⊥B$\perp \mathrm{B}$ dengan ∠A=α$\mathrm{\angle }\mathrm{A}=\alpha$ dan ∠C=β$\mathrm{\angle }\mathrm{C}=\beta$. Tunjukkan bahwa sin(α)=cos(90∘−α)$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\alpha )=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({90}^{\circ }-\alpha )$ dan cos(β)=sin(90∘−β)$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\beta )=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({90}^{\circ }-\beta )$

Penyelesaian :

Sesuai definisi, maka

sin(α) = BCAC$\frac{\mathrm{B}\mathrm{C}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}$

cos(β) = BCAC$\frac{\mathrm{B}\mathrm{C}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}$

Dari kedua persamaan diatas, maka

sin(α) = cos(β)  ......................................(1)

∠A + ∠B + ∠C = 180°

α + 90° + β = 180°

α + β = 90°

α = 90° − β  .............................(2)

β = 90° − α  .............................(3)
Substitusi (2) ke (1) diperoleh
sin(90° − β) = cos(β)
Substitusi (3) ke (1) diperoleh
sin(α) = cos(90° − α)

Contoh 6

Diketahui segitiga ABC ⊥B$\perp \mathrm{B}$. Titik D terletak pada BC sehingga CD=1$\mathrm{C}\mathrm{D}=1$. Jika ∠ADB=α$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{B}=\alpha$ dan ∠ACB=β$\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}=\beta$, tunjukkan bahwa AB=tan(α)tan(β)tan(α)−tan(β)$\mathrm{A}\mathrm{B}=\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\alpha )\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\beta )}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\alpha )-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\beta )}$

Penyelesaian :

Perhatikan segitiga ABD

tan(α) = ABBD$\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{D}}$

⇔ AB = BD tan(α)  ................................(1)

Perhatikan segitiga ABC

tan(β) = ABBD+1$\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{B}\mathrm{D}+1}$

⇔ AB = (BD + 1) tan(β)  .......................(2)

Dari persamaan (1) dan (2)

BD tan(α) = (BD + 1) tan(β)

BD tan(α) = BD tan(β) + tan(β)

BD tan(α) − BD tan(β) = tan(β)

BD(tan(α) − tan(β)) = tan(β)

BD = tan(β)tan(α)−tan(β)$\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\beta )}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\alpha )-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\beta )}$  ..................................(3)

Substitusi (3) ke (1)

AB = tan(β)tan(α)−tan(β)$\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\beta )}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\alpha )-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\beta )}$ tan(α)

diperoleh

AB = tan(α)tan(β)tan(α)−tan(β)$\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\alpha )\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\beta )}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\alpha )-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\beta )}$ 

Sumber: smatika.blogspot.com