Langsung ke konten utama

Soal persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat

Soal persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat yang diberikan melalui halaman ini adalah kumpulan soal dengan materi persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Di mana kesulitan soal yang diberikan setara dengan soal ujian nasional, sesuai untuk level kognitif aplikasi. Kumpulan soal persamaan dan fungsi kuadrat yang diberikan telah dilengkapi dengan pembahasannya.

Persamaan Kuadrat

Contoh 1 – Latihan soal UN 2019
Persamaan kuadrat x^{2} - 5x +6 = 0 mempunyai akar-akar x_{1} dan x_{2}. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x_{1} - 3 dan x_{2} - 3 adalah ….
    \[ \textrm{A.} \; \; \; x^{2} - 2x = 0 \]
    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} - 2x + 30 = 0 \]
    \[ \textrm{C.} \; \; \; x^{2} + x = 0 \]
    \[ \textrm{D.} \; \; \; x^{2} + x - 30 = 0 \]
    \[ \textrm{E.} \; \; \; x^{2} + x + 30 = 0 \]
Pembahasan:
Diketahui persamaan kuadrat:
    \[ x^{2} - 5x + 6 = 0 \]
Maka:
    \[ x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{-5}{1} = 5 \]
    \[ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6 \]
Persamaan kuadrat dengan akar-akar x_{1} - 3 dan x_{2} - 3 adalah
    \[ \alpha = x_{1} - 3 \]
    \[ \beta = x_{2} - 3\]
    \[ \alpha + \beta = x_{1} - 3 + x_{2} - 3 \]
    \[ \alpha + \beta = x_{1} + x_{2} - 6 \]
    \[ \alpha + \beta = 5 - 6 = - 1 \]
    \[ \alpha \cdot \beta = \left( x_{1} - 3 \right) \left( x_{2} - 3 \right) \]
    \[ \alpha \cdot \beta = x_{1} \cdot x_{2} - 3x_{1} - 3x_{2} + 9 \]
    \[ \alpha \cdot \beta = x_{1} \cdot x_{2} - 3 \left(x_{1} + x_{2} \right) + 9 \]
    \[ \alpha \cdot \beta = 6 - 3 \cdot 5 + 9 \]
    \[ \alpha \cdot \beta = 6 - 15 + 9 = 0 \]
Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:
    \[ x^{2} - \left( \alpha + \beta \right)x +\alpha \cdot \beta = 0 \]
    \[ x^{2} - (-1)x + 0 = 0 \]
    \[ x^{2} + x + 0 = 0 \]
Jawaban: C
Contoh 2 – Soal UN Menentukan Persamaan Kuadrat Baru
Jika x_{1} dan x_{2} adalah akar-akar persamaan kuadrat x^{2} - x + 2 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x_{1} - 2 dan 2x_{2} - 2 adalah ….
    \[ \textrm{A.} \; \; \; 8x^{2} + 2x + 1 = 0 \]
    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} + 8x + 2 = 0 \]
    \[ \textrm{C.} \; \; \; x^{2} + 2x + 8 = 0 \]
    \[ \textrm{D.} \; \; \; x^{2} - 8x - 2 = 0 \]
    \[ \textrm{E.} \; \; \; x^{2} - 2x + 8 = 0 \]
Pembahasan:
Diketahui persamaan kuadrat:
    \[ x^{2} - x + 2 = 0 \]
Maka:
    \[ x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{-1}{1} = 1 \]
    \[ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2 \]
Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2x_{1} - 2 dan 2x_{2} - 2 adalah
Misalkan akar-akar persamaan baru adalah \alpha dan \beta
    \[ \alpha = 2x_{1} - 2 \]
    \[ \beta = 2x_{2} - 2 \]
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
    \[ \alpha + \beta = 2x_{1} - 2 + 2x_{2} - 2 \]
    \[ \alpha + \beta = 2 \left( x_{1} + x_{2}\right) - 4 \]
    \[ \alpha + \beta = 2 \cdot 1 - 4 = - 2 \]
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
    \[ \alpha \cdot \beta = \left( 2x_{1} - 2 \right) \left( 2x_{2} - 2 \right) \]
    \[ \alpha \cdot \beta = 4 \cdot x_{1} x_{2} - 4 x_{1} - 4 x_{2} + 4 \]
    \[ \alpha \cdot \beta = 4 \cdot x_{1} x_{2} - 4 \left( x_{1} + x_{2} \right) + 4 \]
    \[ \alpha \cdot \beta = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 1 + 4 \]
    \[ \alpha \cdot \beta = 8 - 4 + 4 = 8 \]
Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:
    \[ x^{2} - \left( \alpha + \beta \right)x +\alpha \cdot \beta = 0 \]
    \[ x^{2} - (-2)x + 8 = 0 \]
    \[ x^{2} + 2x + 8 = 0 \]
Jawaban: C
Contoh 3 – Soal UN Menentukan Persamaan Kuadrat Baru
Diketahui \alpha dan \beta akar-akar persamaan kuadrat 4x^{2} - 6x - 1 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2 \alpha - 1) dan (2 \beta - 1) adalah ….
    \[ \textrm{A.} \; \; \; x^{2} - x - 3 = 0 \]
    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} - 3x + 1 = 0 \]
    \[ \textrm{C.} \; \; \; x^{2} + 2x - 2 = 0 \]
    \[ \textrm{D.} \; \; \; 2x^{2} - 3x - 2 = 0 \]
    \[ \textrm{E.} \; \; \; 2x^{2} + x - 2 = 0 \]
Pembahasan:
Diketahui persamaan kuadrat:
    \[ 4x^{2} - 6 x - 1 = 0 \]
Maka:
    \[ \alpha + \beta = - \frac{b}{a} = - \frac{-6}{4} = \frac{3}{2} \]
    \[ \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-1}{4} \]
Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2 \alpha - 1 dan 2 \beta - 1 adalah
Misalkan akar-akar persamaan baru adalah x_{1} dan x_{2}
    \[ x_{1} = 2 \alpha - 1 \]
    \[ x_{2} = 2 \beta - 1 \]
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
    \[ x_{1} + x_{2} = 2 \alpha - 1 + 2 \beta - 1 \]
    \[ x_{1} + x_{2} = 2(\alpha + \beta) - 2 \]
    \[ x_{1} + x_{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} - 2 = 1 \]
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
    \[ x_{1} \cdot x_{2} = \left( 2 \alpha - 1 \right) \left( 2 \beta - 1 \right) \]
    \[ x_{1} \cdot x_{2} = 4 \alpha \beta - 2 \alpha - 2 \beta + 1 \]
    \[ x_{1} \cdot x_{2} = 4 \alpha \beta - 2 \left( \alpha + \beta \right) + 1 \]
    \[ x_{1} \cdot x_{2} = 4 \cdot - \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{3}{2} + 1 \]
    \[ x_{1} \cdot x_{2} = - 1 - 3 + 1 = - 3 \]
Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:
    \[ x^{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right)x + x_{1} x_{2} = 0 \]
    \[ x^{2} - x - 3 = 0 \]
Jawaban: A

Fungsi Kuadrat

Contoh 1 – Soal UN Fungsi Kuadrat
Perhatikan gambar di bawah ini!


Contoh soal fungsi kuadrat
Gambar tersebut adalah grafik fungsi kuadrat ….
    \[ \textrm{A.} \; \; \; x^{2} + 2x + 3 \]
    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} - 2x - 3 \]
    \[ \textrm{C.} \; \; \; -x^{2} + 2x - 3 \]
    \[ \textrm{D.} \; \; \; -x^{2} - 2x + 3 \]
    \[ \textrm{E.} \; \; \; -x^{2} + 2x + 3 \]
Pembahasan:
Persamaan umum kuadrat dinyatakan melalui persamaan:
    \[ y = a(x - p)^{2} + q \]
Di mana titik (p, q) adalah titik puncak kurva. Deiktahui, kurva pada memiliki titik puncak (1, 4). Sehingga, dari persamaan di atas dapat diperoleh hasil sebagai berikut.
    \[ y = a(x - 1)^{2} + 4 \]
Kurva diketahui melalui titik (0, 3). Substitusi nilai pada titik tersebut ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai a.
    \[ 0 = a(3 - 1)^{2} + 4 \]
    \[ 0 = 4a + 4 \]
    \[ 4a = - 4 \rightarrow a = -1 \]
Jadi, diperoleh persamaan kuadrat seperti gambar pada soal adalah sebagai berikut.
    \[ y = -1 (x - 1)^{2} + 4 \]
    \[ y = -1 (x^{2} -2x + 1) + 4 \]
    \[ y = - x^{2} + 2x - 1 + 4 \]
    \[ y = - x^{2} + 2x + 3 \]
Jawaban: E
Demikianlah ulasan tentang soal dan pembahasan persamaan kuadrat baru. Meliputi soal dan pembahasan persamaan kuadrat untuk level kognitif aplikasi. Serta Soal fungsi kuadrat untuk tingkat level yang sama.

 
Label:

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Satuan Waktu Dalam Matematika Disertai Contoh Soal dan Pembahasannya

Pembahasan Satuan Waktu Disertai Contoh Soal - Satuan pengukuran waktu secara umum terdiri dari detik, menit, jam, hari, minggu, bulan, dan tahun. Namun satuan waktu dalam matematika masih banyak yang lainnya. Untuk lebih jelasnya dalam artikel kali ini saya akan menjelaskan tentang macam - macam satuan pengukuran waktu beserta contoh soal satuan waktu dan pembahasannya. Daftar Satuan Pengukuran Waktu Dalam Matematika => 1 menit = 60 detik => 1 jam = 60 menit => 1 jam = 3600 detik => 1 hari = 24 jam => 1 minggu = 7 hari => 1 bulan = 30 hari => 1 tahun = 52 minggu => 1 tahun = 12 bulan => 1 lustrum = 5 tahun => 1 windu = 8 tahun => 1 dasa warsa = 10 tahun => 1 abad = 100 tahun Setelah mengetahui berbagai macam pengukuran satuan waktu di atas kita bisa lebih mudah untuk menyelesaikan soal - soal tentang pengukuran satuan waktu. Perhatikan bentuk - bentuk soal di bawah ini : Soal 1...
Baca selengkapnya

Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal

Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar - Operasi aljabar pada bentuk akar merupakan operasi dalam bentuk penjumlahan, pengurangan ,perkalian maupun pembagian dalam bentuk akar yang digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Sifat - sifat dari penjumlahan dan pengurangan bentuk akar yang biasa di gunakan secara umum bisa digambarkan berikut ini :                                             a√b  + c√b  = (a + c) √b                                             a√b  - c√b  = (a - c) √b                                             dengan a, b, c, ∈R dan b ≥ 0 Dari gambar sifat-sifat per...
Baca selengkapnya

Penjelasan Perbedaan Permutasi dan Kombinasi Matematika, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Permutasi dan Kombinasi Matematika - Materi permutasi dan kombinasi matematika berkaitan dengan materi peluang yang bisa kalian akses pada artikel yang membahas tentang Pengertian dan Rumus Peluang Matematika. Pengertian Permutasi dan Kombinasi Matematika Permutasi Dalam ilmu matematika permutasi diartikan sebagai sebuah konsep penyusunan sekumpulan objek/angka menjadi beberapa urutan berbeda tanpa mengalami pengulangan. Di dalam permutasi, urutan sangat diperhatikan. Setiap objek yang dihasilkan harus berbeda antara satu dengan yang lain. Sebagai contoh, urutan huruf {ABC} berbeda dengan {CAB} begitu juga dengan {BAC} dan {ACB}. Rumus untuk mencari banyaknya permutasi n unsur jika disusun pada unsur k dimana k n adalah : Rumus Permutasi P(n,k) =  n!               (n-k)! Untuk memahami rumus tersebut, perhatikan pembahasan soal berikut ini : Contoh Soal 1 : Disebuah kelas terdapat 4 orang siswa yang dicalonkan u...
Baca selengkapnya