Soal persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat

Soal persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat yang diberikan melalui halaman ini adalah kumpulan soal dengan materi persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Di mana kesulitan soal yang diberikan setara dengan soal ujian nasional, sesuai untuk level kognitif aplikasi. Kumpulan soal persamaan dan fungsi kuadrat yang diberikan telah dilengkapi dengan pembahasannya.

Persamaan Kuadrat

Contoh 1 – Latihan soal UN 2019

Persamaan kuadrat $x^{2} - 5x +6 = 0$ mempunyai akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$ . Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_{1} - 3$ dan $x_{2} - 3$ adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; x^{2} - 2x = 0$

$\textrm{B.} \; \; \; x^{2} - 2x + 30 = 0$

$\textrm{C.} \; \; \; x^{2} + x = 0$

$\textrm{D.} \; \; \; x^{2} + x - 30 = 0$

$\textrm{E.} \; \; \; x^{2} + x + 30 = 0$

Pembahasan:

Diketahui persamaan kuadrat:

$x^{2} - 5x + 6 = 0$

Maka:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{-5}{1} = 5$

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$

Persamaan kuadrat dengan akar-akar $x_{1} - 3$ dan $x_{2} - 3$ adalah

$\alpha = x_{1} - 3$

$\beta = x_{2} - 3$

$\alpha + \beta = x_{1} - 3 + x_{2} - 3$

$\alpha + \beta = x_{1} + x_{2} - 6$

$\alpha + \beta = 5 - 6 = - 1$

$\alpha \cdot \beta = \left( x_{1} - 3 \right) \left( x_{2} - 3 \right)$

$\alpha \cdot \beta = x_{1} \cdot x_{2} - 3x_{1} - 3x_{2} + 9$

$\alpha \cdot \beta = x_{1} \cdot x_{2} - 3 \left(x_{1} + x_{2} \right) + 9$

$\alpha \cdot \beta = 6 - 3 \cdot 5 + 9$

$\alpha \cdot \beta = 6 - 15 + 9 = 0$

Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:

$x^{2} - \left( \alpha + \beta \right)x +\alpha \cdot \beta = 0$

$x^{2} - (-1)x + 0 = 0$

$x^{2} + x + 0 = 0$

Jawaban: C

Contoh 2 – Soal UN Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} - x + 2 = 0$ . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $2x_{1} - 2$ dan $2x_{2} - 2$ adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; 8x^{2} + 2x + 1 = 0$

$\textrm{B.} \; \; \; x^{2} + 8x + 2 = 0$

$\textrm{C.} \; \; \; x^{2} + 2x + 8 = 0$

$\textrm{D.} \; \; \; x^{2} - 8x - 2 = 0$

$\textrm{E.} \; \; \; x^{2} - 2x + 8 = 0$

Pembahasan:

Diketahui persamaan kuadrat:

$x^{2} - x + 2 = 0$

Maka:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{-1}{1} = 1$

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2$

Persamaan kuadrat dengan akar-akar $2x_{1} - 2$ dan $2x_{2} - 2$ adalah

Misalkan akar-akar persamaan baru adalah $\alpha$ dan $\beta$

$\alpha = 2x_{1} - 2$

$\beta = 2x_{2} - 2$

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang baru:

$\alpha + \beta = 2x_{1} - 2 + 2x_{2} - 2$

$\alpha + \beta = 2 \left( x_{1} + x_{2}\right) - 4$

$\alpha + \beta = 2 \cdot 1 - 4 = - 2$

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru:

$\alpha \cdot \beta = \left( 2x_{1} - 2 \right) \left( 2x_{2} - 2 \right)$

$\alpha \cdot \beta = 4 \cdot x_{1} x_{2} - 4 x_{1} - 4 x_{2} + 4$

$\alpha \cdot \beta = 4 \cdot x_{1} x_{2} - 4 \left( x_{1} + x_{2} \right) + 4$

$\alpha \cdot \beta = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 1 + 4$

$\alpha \cdot \beta = 8 - 4 + 4 = 8$

Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:

$x^{2} - \left( \alpha + \beta \right)x +\alpha \cdot \beta = 0$

$x^{2} - (-2)x + 8 = 0$

$x^{2} + 2x + 8 = 0$

Jawaban: C

Contoh 3 – Soal UN Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Diketahui $\alpha$ dan $\beta$ akar-akar persamaan kuadrat $4x^{2} - 6x - 1 = 0$ . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(2 \alpha - 1)$ dan $(2 \beta - 1)$ adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; x^{2} - x - 3 = 0$

$\textrm{B.} \; \; \; x^{2} - 3x + 1 = 0$

$\textrm{C.} \; \; \; x^{2} + 2x - 2 = 0$

$\textrm{D.} \; \; \; 2x^{2} - 3x - 2 = 0$

$\textrm{E.} \; \; \; 2x^{2} + x - 2 = 0$

Pembahasan:

Diketahui persamaan kuadrat:

$4x^{2} - 6 x - 1 = 0$

Maka:

$\alpha + \beta = - \frac{b}{a} = - \frac{-6}{4} = \frac{3}{2}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-1}{4}$

Persamaan kuadrat dengan akar-akar $2 \alpha - 1$ dan $2 \beta - 1$ adalah

Misalkan akar-akar persamaan baru adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$

$x_{1} = 2 \alpha - 1$

$x_{2} = 2 \beta - 1$

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang baru:

$x_{1} + x_{2} = 2 \alpha - 1 + 2 \beta - 1$

$x_{1} + x_{2} = 2(\alpha + \beta) - 2$

$x_{1} + x_{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} - 2 = 1$

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru:

$x_{1} \cdot x_{2} = \left( 2 \alpha - 1 \right) \left( 2 \beta - 1 \right)$

$x_{1} \cdot x_{2} = 4 \alpha \beta - 2 \alpha - 2 \beta + 1$

$x_{1} \cdot x_{2} = 4 \alpha \beta - 2 \left( \alpha + \beta \right) + 1$

$x_{1} \cdot x_{2} = 4 \cdot - \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{3}{2} + 1$

$x_{1} \cdot x_{2} = - 1 - 3 + 1 = - 3$

Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:

$x^{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right)x + x_{1} x_{2} = 0$

$x^{2} - x - 3 = 0$

Jawaban: A

Fungsi Kuadrat

Contoh 1 – Soal UN Fungsi Kuadrat

Perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar tersebut adalah grafik fungsi kuadrat ….

$\textrm{A.} \; \; \; x^{2} + 2x + 3$

$\textrm{B.} \; \; \; x^{2} - 2x - 3$

$\textrm{C.} \; \; \; -x^{2} + 2x - 3$

$\textrm{D.} \; \; \; -x^{2} - 2x + 3$

$\textrm{E.} \; \; \; -x^{2} + 2x + 3$

Pembahasan:

Persamaan umum kuadrat dinyatakan melalui persamaan:

$y = a(x - p)^{2} + q$

Di mana titik (p, q) adalah titik puncak kurva. Deiktahui, kurva pada memiliki titik puncak (1, 4). Sehingga, dari persamaan di atas dapat diperoleh hasil sebagai berikut.

$y = a(x - 1)^{2} + 4$

Kurva diketahui melalui titik (0, 3). Substitusi nilai pada titik tersebut ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai a.

$0 = a(3 - 1)^{2} + 4$

$0 = 4a + 4$

$4a = - 4 \rightarrow a = -1$

Jadi, diperoleh persamaan kuadrat seperti gambar pada soal adalah sebagai berikut.

$y = -1 (x - 1)^{2} + 4$

$y = -1 (x^{2} -2x + 1) + 4$

$y = - x^{2} + 2x - 1 + 4$

$y = - x^{2} + 2x + 3$

Jawaban: E

Demikianlah ulasan tentang soal dan pembahasan persamaan kuadrat baru. Meliputi soal dan pembahasan persamaan kuadrat untuk level kognitif aplikasi. Serta Soal fungsi kuadrat untuk tingkat level yang sama.

Belajar Matematika Mudah

Cari Blog Ini