Langsung ke konten utama

Soal persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat

Soal persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat yang diberikan melalui halaman ini adalah kumpulan soal dengan materi persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Di mana kesulitan soal yang diberikan setara dengan soal ujian nasional, sesuai untuk level kognitif aplikasi. Kumpulan soal persamaan dan fungsi kuadrat yang diberikan telah dilengkapi dengan pembahasannya.

Persamaan Kuadrat

Contoh 1 – Latihan soal UN 2019
Persamaan kuadrat x^{2} - 5x +6 = 0 mempunyai akar-akar x_{1} dan x_{2}. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x_{1} - 3 dan x_{2} - 3 adalah ….
    \[ \textrm{A.} \; \; \; x^{2} - 2x = 0 \]
    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} - 2x + 30 = 0 \]
    \[ \textrm{C.} \; \; \; x^{2} + x = 0 \]
    \[ \textrm{D.} \; \; \; x^{2} + x - 30 = 0 \]
    \[ \textrm{E.} \; \; \; x^{2} + x + 30 = 0 \]
Pembahasan:
Diketahui persamaan kuadrat:
    \[ x^{2} - 5x + 6 = 0 \]
Maka:
    \[ x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{-5}{1} = 5 \]
    \[ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6 \]
Persamaan kuadrat dengan akar-akar x_{1} - 3 dan x_{2} - 3 adalah
    \[ \alpha = x_{1} - 3 \]
    \[ \beta = x_{2} - 3\]
    \[ \alpha + \beta = x_{1} - 3 + x_{2} - 3 \]
    \[ \alpha + \beta = x_{1} + x_{2} - 6 \]
    \[ \alpha + \beta = 5 - 6 = - 1 \]
    \[ \alpha \cdot \beta = \left( x_{1} - 3 \right) \left( x_{2} - 3 \right) \]
    \[ \alpha \cdot \beta = x_{1} \cdot x_{2} - 3x_{1} - 3x_{2} + 9 \]
    \[ \alpha \cdot \beta = x_{1} \cdot x_{2} - 3 \left(x_{1} + x_{2} \right) + 9 \]
    \[ \alpha \cdot \beta = 6 - 3 \cdot 5 + 9 \]
    \[ \alpha \cdot \beta = 6 - 15 + 9 = 0 \]
Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:
    \[ x^{2} - \left( \alpha + \beta \right)x +\alpha \cdot \beta = 0 \]
    \[ x^{2} - (-1)x + 0 = 0 \]
    \[ x^{2} + x + 0 = 0 \]
Jawaban: C
Contoh 2 – Soal UN Menentukan Persamaan Kuadrat Baru
Jika x_{1} dan x_{2} adalah akar-akar persamaan kuadrat x^{2} - x + 2 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x_{1} - 2 dan 2x_{2} - 2 adalah ….
    \[ \textrm{A.} \; \; \; 8x^{2} + 2x + 1 = 0 \]
    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} + 8x + 2 = 0 \]
    \[ \textrm{C.} \; \; \; x^{2} + 2x + 8 = 0 \]
    \[ \textrm{D.} \; \; \; x^{2} - 8x - 2 = 0 \]
    \[ \textrm{E.} \; \; \; x^{2} - 2x + 8 = 0 \]
Pembahasan:
Diketahui persamaan kuadrat:
    \[ x^{2} - x + 2 = 0 \]
Maka:
    \[ x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{-1}{1} = 1 \]
    \[ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2 \]
Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2x_{1} - 2 dan 2x_{2} - 2 adalah
Misalkan akar-akar persamaan baru adalah \alpha dan \beta
    \[ \alpha = 2x_{1} - 2 \]
    \[ \beta = 2x_{2} - 2 \]
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
    \[ \alpha + \beta = 2x_{1} - 2 + 2x_{2} - 2 \]
    \[ \alpha + \beta = 2 \left( x_{1} + x_{2}\right) - 4 \]
    \[ \alpha + \beta = 2 \cdot 1 - 4 = - 2 \]
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
    \[ \alpha \cdot \beta = \left( 2x_{1} - 2 \right) \left( 2x_{2} - 2 \right) \]
    \[ \alpha \cdot \beta = 4 \cdot x_{1} x_{2} - 4 x_{1} - 4 x_{2} + 4 \]
    \[ \alpha \cdot \beta = 4 \cdot x_{1} x_{2} - 4 \left( x_{1} + x_{2} \right) + 4 \]
    \[ \alpha \cdot \beta = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 1 + 4 \]
    \[ \alpha \cdot \beta = 8 - 4 + 4 = 8 \]
Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:
    \[ x^{2} - \left( \alpha + \beta \right)x +\alpha \cdot \beta = 0 \]
    \[ x^{2} - (-2)x + 8 = 0 \]
    \[ x^{2} + 2x + 8 = 0 \]
Jawaban: C
Contoh 3 – Soal UN Menentukan Persamaan Kuadrat Baru
Diketahui \alpha dan \beta akar-akar persamaan kuadrat 4x^{2} - 6x - 1 = 0. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2 \alpha - 1) dan (2 \beta - 1) adalah ….
    \[ \textrm{A.} \; \; \; x^{2} - x - 3 = 0 \]
    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} - 3x + 1 = 0 \]
    \[ \textrm{C.} \; \; \; x^{2} + 2x - 2 = 0 \]
    \[ \textrm{D.} \; \; \; 2x^{2} - 3x - 2 = 0 \]
    \[ \textrm{E.} \; \; \; 2x^{2} + x - 2 = 0 \]
Pembahasan:
Diketahui persamaan kuadrat:
    \[ 4x^{2} - 6 x - 1 = 0 \]
Maka:
    \[ \alpha + \beta = - \frac{b}{a} = - \frac{-6}{4} = \frac{3}{2} \]
    \[ \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-1}{4} \]
Persamaan kuadrat dengan akar-akar 2 \alpha - 1 dan 2 \beta - 1 adalah
Misalkan akar-akar persamaan baru adalah x_{1} dan x_{2}
    \[ x_{1} = 2 \alpha - 1 \]
    \[ x_{2} = 2 \beta - 1 \]
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
    \[ x_{1} + x_{2} = 2 \alpha - 1 + 2 \beta - 1 \]
    \[ x_{1} + x_{2} = 2(\alpha + \beta) - 2 \]
    \[ x_{1} + x_{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} - 2 = 1 \]
Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru:
    \[ x_{1} \cdot x_{2} = \left( 2 \alpha - 1 \right) \left( 2 \beta - 1 \right) \]
    \[ x_{1} \cdot x_{2} = 4 \alpha \beta - 2 \alpha - 2 \beta + 1 \]
    \[ x_{1} \cdot x_{2} = 4 \alpha \beta - 2 \left( \alpha + \beta \right) + 1 \]
    \[ x_{1} \cdot x_{2} = 4 \cdot - \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{3}{2} + 1 \]
    \[ x_{1} \cdot x_{2} = - 1 - 3 + 1 = - 3 \]
Sehingga, persamaan kuadrat yang baru adalah:
    \[ x^{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right)x + x_{1} x_{2} = 0 \]
    \[ x^{2} - x - 3 = 0 \]
Jawaban: A

Fungsi Kuadrat

Contoh 1 – Soal UN Fungsi Kuadrat
Perhatikan gambar di bawah ini!


Contoh soal fungsi kuadrat
Gambar tersebut adalah grafik fungsi kuadrat ….
    \[ \textrm{A.} \; \; \; x^{2} + 2x + 3 \]
    \[ \textrm{B.} \; \; \; x^{2} - 2x - 3 \]
    \[ \textrm{C.} \; \; \; -x^{2} + 2x - 3 \]
    \[ \textrm{D.} \; \; \; -x^{2} - 2x + 3 \]
    \[ \textrm{E.} \; \; \; -x^{2} + 2x + 3 \]
Pembahasan:
Persamaan umum kuadrat dinyatakan melalui persamaan:
    \[ y = a(x - p)^{2} + q \]
Di mana titik (p, q) adalah titik puncak kurva. Deiktahui, kurva pada memiliki titik puncak (1, 4). Sehingga, dari persamaan di atas dapat diperoleh hasil sebagai berikut.
    \[ y = a(x - 1)^{2} + 4 \]
Kurva diketahui melalui titik (0, 3). Substitusi nilai pada titik tersebut ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai a.
    \[ 0 = a(3 - 1)^{2} + 4 \]
    \[ 0 = 4a + 4 \]
    \[ 4a = - 4 \rightarrow a = -1 \]
Jadi, diperoleh persamaan kuadrat seperti gambar pada soal adalah sebagai berikut.
    \[ y = -1 (x - 1)^{2} + 4 \]
    \[ y = -1 (x^{2} -2x + 1) + 4 \]
    \[ y = - x^{2} + 2x - 1 + 4 \]
    \[ y = - x^{2} + 2x + 3 \]
Jawaban: E
Demikianlah ulasan tentang soal dan pembahasan persamaan kuadrat baru. Meliputi soal dan pembahasan persamaan kuadrat untuk level kognitif aplikasi. Serta Soal fungsi kuadrat untuk tingkat level yang sama.

 
Label:

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal

Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar - Operasi aljabar pada bentuk akar merupakan operasi dalam bentuk penjumlahan, pengurangan ,perkalian maupun pembagian dalam bentuk akar yang digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Sifat - sifat dari penjumlahan dan pengurangan bentuk akar yang biasa di gunakan secara umum bisa digambarkan berikut ini :                                             a√b  + c√b  = (a + c) √b                                             a√b  - c√b  = (a - c) √b                                             dengan a, b, c, ∈R dan b ≥ 0 Dari gambar sifat-sifat per...
Baca selengkapnya

Materi Pengertian dan Rumus Peluang Matematika SMP Terlengkap

Pengertian dan Rumus Peluang Matematika - Jika kalian pernah bermain ular tangga tentu kalian akan menggunakan dadu untuk menentukan jumlah langkah yang harus kalian ambil. Pada proses pelemparan dadu, hasil atau angka yang mungkin muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Nah, kemungkinan munculnya angka pada saat melempar dadu adalah salah satu contoh Peluang Matematika.Contoh lain dari peluang matematika adalah pelemparan koin. Pada saat melempar koin ada dua buah kemungkinan sisi yang muncul. Sisi yang pertama adalah angka (A) dan sisi yang kedua adalah gambar (A). Materi kali ini akan membahas mengenai pengertian dan rumus peluang dalam matematika. Perhatikan baik - baik pembahasan berikut ini: Memahami Definisi dan Rumus Peluang dalam Matematika Definisi Peluang Peluang didefinisikan sebagai sebuah cara yang dilakukan untuk mengetahui kemungkinan terjadinya sebuah peristiwa. Di dalam materi mengenai peluang, dikenal beberapa istilah yang sering digunakan, seperti...
Baca selengkapnya

Rumus Teorema Pythagoras Pada Bangun Datar, Contoh Soal dan Pembahasannya

Rumus Teorema Pythagoras Pada Bangun Datar - Bangun datar merupakan bangun dua dimensi dimana hanya terdapat sisi panjang dan lebar dan dibatasi oleh garis lengkung dan garis lurus. Seperti yang kita ketahui, bangun datar terdiri dari delapan jenis yaitu persegi, persegi panjang, jajar genjang, trapesium, segitiga, layang - layang, belah ketupat, dan yang terakhir adalha lingkaran. Masing - masing dari bangun datar tersebut memiliki rumus luas dan keliling yang berbeda dan terkadang disaat kita menghitung rumus - rumus tersebut dibutuhkan perhitungan yang menggunakan rumus teorema Pythagoras. Penggunaan Rumus Teorema Pythagoras pada Bangun Datar Mencari diagonal bidang pada persegi dan persegi panjang Dalam menentukan bidang diagonal pada persegi panjang, kalian bisa menggunakan rumus teorema pythagoras jika kalian telah mengetahui panjang dan lebarnya. Sementara rumus pythagoras bisa digunakan dalam mencari bidang diagonal pada persegi panjang jika panjang sisinya s...
Baca selengkapnya